Question

【题目】已知函数

（1）当，求函数的单调区间；

（2）若有且只有一个实数解，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）单调增区间为，的单调减区间为；（2）或.

【解析】

（1）先求定义域，再求导数，利用和,求得函数的单调区间；

（2）先求得，,,再分，，讨论，时，单调递增，根据零点存在定理是否存在唯一零点；时可直接代入判断；时，有极值，再构造函数，从而得到答案.

解：（1），定义域,

时，，，

∴的单调增区间为，的单调减区间为

（2），,

①时，恒成立，单调递增

，取且，则

唯一，使，符合题意

②时，，,∴无零点，与题意不符

③时，，，单调递减

，，单调递增

<1>，，有唯一零点，符合题意

<2>时，令，

由，∴在单调递减

由，∴

由，∴

∴，∴无零点，与题意不符

<3>，，由，∴

∴，使

设，由，∴单调递增

由，∴

∴

∴，

∴有2个零点，与题意不符

综上：或.