Question

【题目】已知四棱锥中，，，侧面底面．

（Ⅰ）作出平面与平面的交线，并证明平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．

【解析】

（1）延长与相交于点，连结，即为平面与平面的交线，利用面面垂直的性质定理可得侧面，证出，，利用线面垂直的判定定理即可证出.

（2）以为原点，以分别为轴、轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.

（Ⅰ）延长与相交于点，连结，

则即为平面与平面的交线．

因为侧面平面，且，

所以侧面，

又侧面，所以．

在中，，，

所以分别为的中点

所以，故．

又，所以平面，即平面．

（Ⅱ）以为原点，以分别为轴、轴，

建立空间直角坐标系，如图所示．则，

在直角三角形中，

由（Ⅰ）知分别为的中点，

所以，，

，，，

设平面的法向量为，

则，即，

取，则，故

设平面的法向量为，

则，即，

取，则，故

又二面角为钝角，故二面角的余弦值为．