题目内容

已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的离心率为
2
3
3
，焦距为2c，且2a2=3c，双曲线 上一点P满足
PF1
•
PF2
=2（F1、F2为左右焦点），则|
PF1
|•|
PF2
|=______．
∵双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的离心率为
2
3
3
，
∴
c
a
=
2
3
3
，可得a=
3
2
c，从而b=
c2- a2
=
1
2
c
又∵2a2=3c，即2（
3
2
c）2=3c，
∴c=2，a=
3
，b=1，可得双曲线方程为
x2
3 
-y2=1
∵点P在双曲线上，∴根据双曲线的定义，得
|PF1|
-
|PF2|
=±2
3

因此（
|PF1|
-
|PF2|
）2=12，即
|PF1|
2-2
|PF1|
•
|PF2|
+
|PF2|
2=12…①
∵
PF1
•
PF2
=
|PF1|•
|PF2|
cosP=2
∴cosP=
2
|PF1|
|PF2|
=
|PF1|
2+
|PF2|
2-
|F1F2|
2
2
|PF1|
•
|PF2|

结合
|F1F2|
=2c=4，化简整理得：即
|PF1|
2+
|PF2|
2=20，代入①，可得
|PF1|
•
|PF2|
=4
故答案为：4
练习册系列答案
相关题目
已知双曲线
x2
a2
-
y2
7
=1，直线l过其左焦点F1，交双曲线的左支于A、B两点，且|AB|=4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则此双曲线的离心率e=
 
．
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且该双曲线的离心率为
5
，则该双曲线的渐近线方程为（　　）
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(b＞a＞0)，O为坐标原点，离心率e=2，点M(
5
，
3
)在双曲线上．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线l与双曲线交于P，Q两点，且
OP
•
OQ
=0．问：
1
|OP|2
+
1
|OQ|2
是否为定值？若是请求出该定值，若不是请说明理由．
（1）已知直线l：kx-y+1+2k=0（k∈R），则该直线过定点
（-2，1）
（-2，1）
；
（2）已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的一条渐近线方程为y=
4
3
x，则双曲线的离心率为
5
3
5
3
．
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）满足| 
a1
b
2
 |=0，且双曲线的右焦点与抛物线y2=4
3
x的焦点重合，则该双曲线的方程为
 
．

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