Question

函数f(x)=ax³-2bx²+cx+4d (a,b,c,d∈R)的图象关于原点对称，且x=1时，f(x)取极小值为-.
（1）求a,b,c,d的值；
（2）证明：当x∈［-1，1］时，图象上不存在两点使得过此两点处的切线互相垂直；
（3）若x₁,x₂∈［-1，1］时，求证：|f(x₁)-f(x₂)|≤.

Answer 1

（1）a=,c=-1，b=0，d=0（2）证明略（3）证明略

（1）解 ∵函数f(x)的图象关于原点对称，
∴对任意实数x有f(-x)=-f(x),
∴-ax³-2bx²-cx+4d=-ax³+2bx²-cx-4d,
即bx²-2d=0恒成立.
∴b=0，d=0,∴f（x）=ax³+cx,f′(x)=3ax²+c.
∵x=1时，f(x)取极小值-,
∴3a+c=0,a+c=-.解得a=,c=-1.
（2）证明 假设图象上存在两点A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂),使得过此两点处的切线互相垂直，则由f′(x)=x²-1,知两点处的切线斜率分别为k₁=x-1,k₂=x-1,且(x-1)·(x-1)=-1.（*）
∵x₁,x₂∈［-1，1］，∴x-1≤0，x-1≤0，
∴（x-1）·（x-1）≥0.这与(*)式相矛盾，故假设不成立.
∴图象上不存在符合条件的两点.
（3）证明 令f′(x)=x²-1=0,则x=±1.
∴当x∈（-∞,-1）或x∈(1,+∞)时，f′(x)＞0;
x∈(-1,1)时f′(x)＜0.
∴f(x)在［-1，1］上是减函数，且f(x)_max=f(-1)=,
f(x)_min=f(1)=-.
∴在［-1，1］上，|f(x)|≤,∴当x₁,x₂∈［-1，1］时，
|f(x₁)-f(x₂)|≤|f(x₁)|+|f(x₂)|≤+=.