Question

4．已知函数f（x）=lnx+2x-6．
（1）证明：函数f（x）在其定义域上是增函数；
（2）证明：函数f（x）有且只有一个零点；
（2）求该零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）利用导数判断函数的单调性，
（2）由零点判定定理判断即可证明．
（3）由（3）知，该零点在区间（2，3）上，从而利用二分法确定区间．

解答 证明：（1）f（x）=lnx+2x-6，
∴函数的定义域为x＞0，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$+2＞0恒成立，
∴函数f（x）在其定义域上是增函数，
（2）∵f（2）=ln2-2＜0，f（3）=ln3＞0，
∵函数f（x）在其定义域上是增函数，
∴函数f（x）有且只有一个零点；
（3）有（2）知，该零点在区间（2，3）上，
f（$\frac{5}{2}$）=ln$\frac{5}{2}$-1＜0，
故该零点在区间（$\frac{5}{2}$，3）上，
f（$\frac{11}{4}$）=ln$\frac{11}{4}$-0.5＞0，
故该零点在区间（$\frac{5}{2}$，$\frac{11}{4}$）上．

点评 本题考查了导数和函数的单调性的关系，函数的零点的个数的判断与二分法的应用，属于中档题．