Question

15．设f（x）=$\frac{{e}^{x}}{a}$+$\frac{a}{{e}^{x}}$是R上的偶函数，且a＞0．
（1）求a的值；
（2）令g（x）=（f（x）-4）e^x，求g（x）在[-1，2]上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用偶函数是定义求a的值；
（2）令g（x）=（f（x）-4）e^x，利用配方法求g（x）在[-1，2]上的值域．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{{e}^{x}}{a}$+$\frac{a}{{e}^{x}}$是R上的偶函数，
∴f（-x）=f（x），即$\frac{{e}^{-x}}{a}+\frac{a}{{e}^{-x}}$=$\frac{{e}^{x}}{a}$+$\frac{a}{{e}^{x}}$，
∵a＞0，
∴a=1；
（2）g（x）=（f（x）-4）e^x=（e^x+e^-x-4）e^x=e^2x-4e^x+1=（e^x-2）²-3，
∵x∈[-1，2]，∴e^x∈[$\frac{1}{e}$，e²]，
∴g（x）∈[-3，e⁴-4e²+1]．

点评 本题考查偶函数的定义，考查函数的值域，确定函数的解析式是关键．