题目内容

证明一个与正整数n有关的命题,常用数学归纳法,其步骤为:?

       (1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　;?

       (2)　　　　　　　　　　　　　　　　　　.?

(1)证明当n取第一个值n0时命题成立?

(2)假设当n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立结论成立则n=k+1时结论也成立

       上述过程用框图表示为:?

?


练习册系列答案
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设C1，C2，…，Cn，…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线y=
3
3
x相切，对每一个正整数n，圆Cn都与圆Cn+1相互外切，以rn表示Cn的半径，以（λn，0）表示Cn的圆心，已知{rn}为递增数列．
（1）证明{rn}为等比数列（提示：
rn
λn
=sinθ，其中θ为直线y=
3
3
x的倾斜角）；
（2）设r1=1，求数列{
n
rn
}的前n项和Sn；
（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n恒有不等式Sn＞
9
4
-
an
rn
成立，求实数a的取值范围．
已知定义在R上的单调函数y=f（x），当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y），
（1）求f（0），并写出适合条件的函数f（x）的一个解析式；
（2）数列{an}满足a1=f(0)且f(an+1)=
1
f(-2-an)
(n∈N+)，
①求通项公式an的表达式；
②令bn=(
1
2
)an，Sn=b1+b2+…+bn，Tn=
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
，试比较Sn与
4
3
Tn的大小，并加以证明；
③当a＞1时，不等式
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
a2n
＞
12
35
(log a+1x-log ax+1)对于不小于2的正整数n恒成立，求x的取值范围．
已知函数f（x）=
-2x+3
2x-7
，若存在实数x0，使f（x0）=x0则称x0是函数y=f（x）的一个不动点．
（I）证明：函数y=f（x）有两个不动点；
（II）已知a、b是y=f（x）的两个不动点，且a＞b．当x≠-
1
2
≠
7
2
时，比较
f(x)-a
f(x)-b
与
8(x-a)
x-b
的大小；
（III）在数列{an}中，a1≠-
1
2
且an≠
7
2
，a1=1，等式an+1=f（an）对任何正整数n都成立，求数列{an}的通项公式．
（2012•自贡三模）在直角坐标系中，有一点列P1（a1，b1），P2（a2，b2），…，Pn（an，bn），…对每一个正整数n，点Pn在给定的函数，y=log3（2x）的图象上，点Pn和点（（n-1，0）与点（n，0）构成一个以Pn为顶点的等腰三角形．
（I） 求点Pn的纵坐标bn的表达式；
（II） 记cn=3bn，n∈N+．
①证明
c1
2
+
c2
22
+…+
cn
2n
＜3；
②是否存在实数k，使得(1+
1
c1
)(1+
1
c2
)…(1+
1
cn
)≥k
2n+1
对一切n∈N+均成立，若存在，求出的最大值；若不存在，说明理由．
设f（x）是非负值函数，对于x1，x2≥0，有等式f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+2，求证：f（nx）=n2f（x）（n∈N*）.

分析：所求证的函数等式是一个与正整数n有关的命题，而题设所给的条件又是一种递推关系，所以可以考虑用数学归纳法证明.

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