题目内容
设C1，C2，…，Cn，…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线y=
| ||
| 3 |
（1）证明{rn}为等比数列（提示：
| rn |
| λn |
| ||
| 3 |
（2）设r1=1，求数列{
| n |
| rn |
（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n恒有不等式Sn＞
| 9 |
| 4 |
| an |
| rn |
分析：（1）依题意可知tanθ=
，由同角三角函数的基本关系可得sinθ，从而得
，得rn与λn的关系式①，再根据圆Cn都与圆Cn+1相互外切，得λn+1-λn=rn+rn+1②，由①②可得rn+1与rn的关系式，根据等比数列的定义可作出判断；
（2）由（1）易求rn，从而可得
，利用错位相减法可求得Sn；
（3）由（2）可表示出不等式Sn＞
-
，分离出参数a后，转化为求函数的最值即可，利用函数的单调性易求函数的最值；
| ||
| 3 |
| rn |
| λn |
（2）由（1）易求rn，从而可得
| n |
| rn |
（3）由（2）可表示出不等式Sn＞
| 9 |
| 4 |
| an |
| rn |
解答：解：（1）证明：依题意可知tanθ=
，则sinθ=
，
所以
=
，得λn=2rn，∴λn+1=2rn+1，
又圆Cn都与圆Cn+1相互外切，
所以λn+1-λn=rn+rn+1，即2rn+1-2rn=rn+rn+1，从而可得rn+1=3rn，
故数列{rn}为等比数列，公比为3．
（2）由于r1=1，q=3，故rn=3n-1，从而
=
，
∴Sn=
+
+…+
+
=1+2•3-1+3•3-2+…+（n-1）•32-n+n•31-n①，
Sn=1•3-1+2•3-2+…+(n-1)•31-n+n•3-n②，
由①-②，得
Sn=1+3-1+3-2+…+•31-n-n•3-n=
-n•3-n=
-(n+
)•3-n，
∴Sn=
-
；
（3）由（2）可知Sn＞
-
可化为
-
＞
-
，即a＞
=
+
，
要使对任意的正整数n恒有不等式a＞
=
+
成立，只需a＞[
+
]max，
令f(x)=
+
，则函数f（x）在（0，+∞）为单调递减函数．
又n∈N*，∴当n=1时，[
+
]max=
，
∴a＞
．
| ||
| 3 |
| 1 |
| 2 |
所以
| rn |
| λn |
| 1 |
| 2 |
又圆Cn都与圆Cn+1相互外切，
所以λn+1-λn=rn+rn+1，即2rn+1-2rn=rn+rn+1，从而可得rn+1=3rn，
故数列{rn}为等比数列，公比为3．
（2）由于r1=1，q=3，故rn=3n-1，从而
| n |
| rn |
| n |
| 3n-1 |
∴Sn=
| 1 |
| r1 |
| 2 |
| r2 |
| n-1 |
| rn-1 |
| n |
| rn |
| 1 |
| 3 |
由①-②，得
| 2 |
| 3 |
| 1-3-n | ||
1-
|
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴Sn=
| 9 |
| 4 |
| (2n+3)•31-n |
| 4 |
（3）由（2）可知Sn＞
| 9 |
| 4 |
| an |
| rn |
| 9 |
| 4 |
| (2n+3)•31-n |
| 4 |
| 9 |
| 4 |
| an |
| 3n-1 |
| 2n+3 |
| 4n |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4n |
要使对任意的正整数n恒有不等式a＞
| 2n+3 |
| 4n |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4n |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4n |
令f(x)=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4x |
又n∈N*，∴当n=1时，[
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4n |
| 5 |
| 4 |
∴a＞
| 5 |
| 4 |
点评：本题考查数列与不等式的综合、数列与解析几何的综合，考查等比数列的定义及通项公式，考查转化思想，对恒成立问题往往转化为函数最值解决．
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