题目内容

已知定义在R上的单调函数y=f(x),当x<0时,f(x)>1,且对任意的实数x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y),
(1)求f(0),并写出适合条件的函数f(x)的一个解析式;
(2)数列{an}满足a1=f(0)且f(an+1)=
1
f(-2-an)
(n∈N+)

①求通项公式an的表达式;
②令bn=(
1
2
)anSn=b1+b2+…+bnTn=
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
,试比较Sn
4
3
Tn
的大小,并加以证明;
③当a>1时,不等式
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
a2n
12
35
(log a+1x-log ax+1)
对于不小于2的正整数n恒成立,求x的取值范围.
分析:(1)令y=0得f(x)[1-f(0)]=0,利用条件:当x<0时,f(x)>1,可得1-f(0)=0,取f(x)=(
1
2
)x
即可满足条件.
(2))①由递推关系知f(an+1)•f(-2-an)=1,即f(an+1-2-an)=f(0),从而an+1-an=2(n∈N*).利用等差数列的通项公式即可得出.
②利用等比数列的前n项和公式即可得出Sn,再利用“裂项求和”即可得出Tn,再利用二项式定理进行放缩即可证明;
③令F(n)=
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
a2n
,通过作差得出F(n)的单调性,计算出F(2),再利用对数函数的单调性即可得出.
解答:解:(1)令y=0得f(x)[1-f(0)]=0,∵当x<0时,f(x)>1,∴f(0)=1,
适合题意的f(x)的一个解析式是f(x)=(
1
2
)x

(2)①由递推关系知f(an+1)•f(-2-an)=1,即f(an+1-2-an)=f(0),
从而an+1-an=2(n∈N*).
∴数列{an}是公差为2的等差数列.
又a1=1,∴an=1+(n-1)×2=2n-1.
②Sn=
1
2
+(
1
2
)3+…+(
1
2
)2n-1
=
1
2
[1-(
1
4
)n]
1-
1
4
=
2
3
(1-
1
4n
)

Tn=
1
1×3
+
1
3×5
+…
1
(2n-1)(2n+1)
=Tn=
1
2
[
(1-
1
3
)+(
1
3
-
1
5
)+…+(
1
2n-1
-
1
2n+1
)
]=
1
2
(1-
1
2n+1
),
4
3
Tn
=
2
3
(1-
1
2n+1
)

4n=(1+3)n>1+3n>2n+1,从而Sn
4
3
Tn

③令F(n)=
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
a2n
,则F(n+1)-F(n)=
1
a2n+1
+
1
a2n+2
-
1
an+1
=
1
4n+1
+
1
4n+3
-
1
2n+1
>0

故当n≥2时,F(n)>F(n-1)>…>F(2)=
1
a3
+
1
a4
=
12
35

由题意得lo
g
x
a+1
-lo
g
x
a
<0,
lgx
lg(a+1)
lgx
lga
,又a>1,可知x>1.
点评:熟练掌握等差数列的通项公式、等比数列的前n项和公式、“裂项求和”、利用二项式定理进行放缩、利用“作差法”比较两个数的大小、对数函数的单调性等是解题的关键.
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