Question

分别在下列范围内求函数y=x²-2x-3的最大值和最小值.

（1）0＜x＜2；（2）2≤x≤3;(3)0≤x≤3.

Answer 1

思路解析：对于二次函数y=f(x)，当x∈R时，函数只有最大值或只有最小值.当m≤x≤n时，函数既有最大值又有最小值.具体求解时，一定要结合图象进行，特别注意对称轴x=h与区间(m,n)的相对关系.

先求抛物线的顶点，然后看顶点的横坐标是否在所规定的自变量的范围内.

解：∵y=x²-2x-3=(x-1)²-4，∴顶点为（1，4）.

（1）∵x=1∈(0,2)，且抛物线开口向上，

∴当x=1时，y有最小值-4，无最大值.

（2）∵x=1［2,3］，∴函数y=x²-2x-3在区间［2,3］上单调.

当x=2时，函数y有最小值f(2)=2²-2×2-3=-3；

当x=3时，函数y有最大值f(3)=3²-2×3-3=0.

（3）∵x=1∈［0,3］，且x=3比x=0距离对称轴x=1更远，

又y=x²-2x-3开口向上，

∴f(1)=-4为函数的最小值，f(3)=0为函数的最大值.