Question

分别在下列范围内求函数y＝x²－2x－3的最大值和最小值．

(1)0＜x＜2；(2)2≤x≤3；(3)0≤x≤3．

Answer 1

答案：
解析：

　　思路解析：先求抛物线的顶点，然后看顶点的横坐标是否在所规定的自变量的范围内．

　　∵y＝x²－2x－3＝(x－1)²－4，

　　∴顶点为(1，－4)．

　　(1)∵x＝1∈(0，2)，且抛物线开口向上，

　　∴当x＝1时，y有最小值－4，无最大值;

　　(2)∵x＝1[2，3]，

　　∴函数y＝x²－2x－3在区间[2，3]上单调．

　　当x＝2时，函数y有最小值f(2)＝2²－2×2－3＝－3；

　　当x＝3时，函数y有最大值f(3)＝3²－2×3－3＝0;

　　(3)∵x＝1∈[0，3]，且x＝3比x＝0距离对称轴x＝1更远，又y＝x²－2x－3开口向上，∴f(1)＝－4为函数的最小值，f(3)＝0为函数的最大值．

　　说明：对于二次函数y＝f(x)，当x∈R时，函数只有最大值或只有最小值．当m≤x≤n时，函数既有最大值又有最小值．具体求解时，一定要结合图象进行，特别注意对称轴x＝h与区间(m，n)的相对关系．