Question

设函数f（x）是定义在R上的偶函数，并在区间（-∞，0）内单调递增，f（2a²+a+1）＜f（3a²-2a+1）求a的取值范围，并在该范围内求函数y=（

1

2

） a2-3a+1的单调递减区间．

Answer 1

分析：已知f（x）是定义在R上的偶函数，并在区间（-∞，0）内单调递增，证明f（x）在区间（0，+∞）内单调递减，再根据f（2a²+a+1）＜f（3a²-2a+1），得出一个不等式，转化为解不等式的问题；

解答：解：设0＜x₁＜x₂，则-x₂＜-x₁＜0，
∵f（x）在区间（-∞，0）内单调递增；
∴f（-x₂）＜f（-x₁），∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（-x₂）=f（x₂），f（-x₁）=f（x₁），
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在区间（0，+∞）内单调递减，
又2a²+a+1=2（a+

1

4

）²+

7

8

＞0，3a²-2a+1=3（a-

1

3

）²+

2

3

＞0，
由f（2a²+a+1）＜f（3a²-2a+1）得，2a²+a+1＞3a²-2a+1，解之，得0＜a＜3，
又a²-3a+1=（a-

3

2

）²-

5

4

，
∴函数y=（

1

2

）^a2-3a+1的单调减区间是[

3

2

，+∞]，结合0＜a＜3，
得函数y=（

1

2

）^a2-3a+1的单调减区间是[

3

2

，3）．

点评：本题主要考查了奇函数的性质的简单应用及函数的单调性及奇偶性在求解不等式中的综合应用，本题计算量有些大，注意计算时要认真，此题是一道中档题；