Question

16．如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=4$\sqrt{3}$，在BE上截取BG=2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为$\frac{{5\sqrt{3}}}{2}$．

Answer 1

分析 先将阴影部分的面积转化为两部分的之间之差，即S_阴影=S_梯形PHGF-S_三角形NMF，再依次计算各面积．

解答 解：如右图，BE=AD=4$\sqrt{3}$sin60°=6，
该阴影（灰色）区域的面积为：
S_阴影=S_梯形PHGF-S_三角形NMF
=$\frac{1}{2}$•（PH+FG）×h-$\frac{1}{2}$•MN×FN，
根据几何关系，上式中的个条线段长度如下：
h=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{3}$
PH=$\frac{1}{2}$AH=$\frac{1}{3}$AD=$\frac{1}{3}$×6=2，FG=2MG=AH=4，
MN=$\frac{1}{2}$AM=$\frac{1}{4}$AB=$\sqrt{3}$，FN=MN×tan30°=1，
因此，S_阴影=$\frac{1}{2}$（2+4）×$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×1=3$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
故阴影部分的面积为$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查了几何图形中数量关系的分析和运算，以及梯形和三角形面积的求解，属于中档题．