Question

（21）已知两点M（－1，0），N（1，0），且点P使·，·，·成公差小于零的等差数列.

（Ⅰ）点P的轨迹是什么曲线？

（Ⅱ）若点P坐标为（x₀，y₀），设θ为与的夹角，求tanθ.

Answer 1

（21）本小题主要考查向量的数量积，二次曲线和等差数列等基础知识， 以及综合分析和解决问题的能力.

解：（Ⅰ）设P（x，y），由M（－1，0），N（1，0）得

＝－＝（－1－x，－y），

＝－＝（1－x，－y），

＝－＝（2，0）.

∴·＝2（1＋x），

·＝x²＋y²－1，

·＝2（1－x）.                                 

于是， ·，·，·是公差小于零的等差数列等价于

即

所以，点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆.   

 

（Ⅱ）点P的坐标为（x₀，y₀）.

·＝x₀²＋y­₀²－1＝2.

||·||＝

＝＝2.

∴cosθ=.                                              

∵0＜x₀≤，

∴＜cosθ≤1，0≤θ＜，sinθ＝＝，