Question

已知圆M：(x+)²+y²=36,定点N(，0)，点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足=0.

(1)(理22(1)文21(1))求点G的轨迹C的方程；

(2)(理22(2))过点(2，0)作直线l，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设，是否存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线相等(即|OS|=|AB|)？若存在，求出直线l的方程，若不存在，试说明理由.

(文21(2))直线l的方程为l:3x-2y-6=0，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，且，求证：四边形OASB为矩形.

Answer 1

(1)解：(理22(1)文21(1))GQ为NP的中垂线|GP|=|GN|，

∴|GN|+|GM|=|MP|=6.故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其半长轴长a=3,半焦距c=.

∴半短轴长b=2.∴点G的轨迹方程是=1.

(2)(理22(2))解：∵，∴四边形OASB为平行四边形.若存在l使得||=||，则四边形OASB为矩形，∴=0.若l的斜率不存在，直线l的方程为x=2,

由得.∴=＞0,与=0矛盾，故l的斜率存在.设l的方程为y=k(x-2),A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

由(9k²+4)x²-36k²x+36(k²-1)=0.

∴x₁+x₂=,x₁x₂=，①

y₁y₂=［k(x₁-2)］［k(x₂-2)］=k²［x₁x₂-2(x₁+x₂)+4］=.②

把①②代入x₁x₂+y₁y₂=0,得k=±.∴存在直线l:3x-2y-6=0或3x+2y-6=0使得四边形OASB的对角线相等.

(文21(2))证明:∵,∴四边形OASB为平行四边形.

设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),由=1x²-81x+45=0.

∴x₁+x₂=,x₁x₂=.

∴=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+(x₁-2)(x₂-2)=x₁x₂(x₁+x₂)+9=+9=0.∴四边形OASB为矩形.