Question

（21）已知抛物线的焦点为F，A、B是热线上的两动点，且过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。

       （I）证明为定值；

       （II）设的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值。

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知条件，得F（0，1），

设

即得      

∴          

将①式两边平方并把代入得

         ③

解②、③式得且有

         

抛物线方程为

求导得

所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是

         

即       

解出两条切线的交点M的坐标为

                 

    所以     

                      

所以为定值，其值为0。      

（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM中，FM⊥AB，因而S=|AB||FM|。

       |FM|

          

因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y= -1的距离，所以

        |AB|=|AF|+|BF|

          

于是   

                

由    

且当=1时，S取得最小值4.