Question

【题目】已知定点S( -2，0) ，T(2，0)，动点P为平面上一个动点，且直线SP、TP的斜率之积为.

（1）求动点P的轨迹E的方程；

（2）设点B为轨迹E与y轴正半轴的交点，是否存在直线l，使得l交轨迹E于M，N两点，且F(1，0)恰是△BMN的垂心?若存在，求l的方程;若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

（1）设，由结合两点间斜率计算公式，整理化简即可；

（2）根据题意，设直线的方程为，，因为，所以，结合直线和椭圆联立的方程组，求出的值，根据题意，确定出即可得出结果.

（1）设，由已知有，

整理得动点P的轨迹E的方程为

（2）由（1）知，的方程为，所以

又，所以直线的斜率，

假设存在直线，使得是的垂心，则.

设的斜率为，则，所以.

设的方程为，.

由，得，

由，得，

.

因为，所以，因为，

所以，

即，

整理得，

所以，

整理得，解得或，

当时，直线过点，不能构成三角形，舍去；

当时，满足，

所以存在直线：，使得是的垂心.