Question

【题目】在直角坐标系中，曲线的参数方程为.(为参数)以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为，直线的极坐标方程为.

（1）求的直角坐标和 l的直角坐标方程；

（2）把曲线上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长为原来的倍，得到曲线，为上动点，求中点到直线距离的最小值.

Answer 1

【答案】（1）的直角坐标：，l的直角坐标方程：.（2）

【解析】

（1）根据极坐标和直角坐标的转化公式，即可容易求得结果；

（2）设出点坐标的参数形式，将问题转化为求三角函数最值的问题，即可求得.

（1）因为点的极坐标为，

直线的极坐标方程为，

由，

得点的直角坐标为，

直线的直角坐标方程为.

（2）设，则由条件知点在曲线上，所以

，即，

又因为为中点，所以，

则点到直线距离为，

当时，取得最小值，

故中点到直线距离的最小值为.