Question

5．已知定义在R上的偶函数f（x）的周期是4，当x∈[0，2]时，f（x）=|2^x-2|，若g（x）=f（x）-|（$\frac{1}{2}$）^x-$\frac{1}{2}$|，则当x∈[-12，12]时，函数g（x）的零点个数是（　　）

• A． 6
• B． 12
• C． 24
• D． 13

Answer 1

分析 根据函数的周期性和奇偶性求出在一个周期内的解析式，作出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：∵定义在R上的偶函数f（x）的周期为4，当x∈[0，2]时，f（x）=|2^x-2|，
∴当x∈[-2，0]，则-x∈[0，2]，
则f（-x）=|2^-x-2|=f（x），
即f（x）=|2^-x-2|，x∈[-2，0]，
由g（x）=f（x）-|（$\frac{1}{2}$）^x-$\frac{1}{2}$|=0，
得f（x）=|（$\frac{1}{2}$）^x-$\frac{1}{2}$|，
设h（x）=|（$\frac{1}{2}$）^x-$\frac{1}{2}$|，
作出函数f（x）和h（x）的图象如图：
当x≤0时，
两个函数在[-12，0]内有1个交点，
在[0，4]内两个函数有3个交点，
当x≥4时，两个函数在每个周期内都有4个交点，
此时在[4，12]内有2×4=8个交点，
则在[-12，12]上解的个数为1+3+8=12，
即函数g（x）的零点个数是12，
故选：B．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，根据条件求出一个周期的图象，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．