Question

若i是虚数单位，则i+2i²+3i³+…+2013i²⁰¹³=______．

Answer 1

由虚数单位i性质可得i⁴ⁿ=1，i⁴ⁿ⁺¹=i，i⁴ⁿ⁺²=-1，i⁴ⁿ⁺³=1，其中n为自然数，
设S=i+2i²+3i³+…+2013i²⁰¹³，①
两边同乘以i可得：iS=i²+2i³+3i⁴+…+2013i²⁰¹⁴，②
①-②可得（1-i）S=i+i²+i³+…+i²⁰¹³-2013i²⁰¹⁴
=

i(1-i2013)

1-i

-2013i²⁰¹⁴=

i(1-i)

1-i

-2013×（-1）=2013+i，
故S=

2013+i

1-i

=

(2013+i)(1+i)

(1-i)(1+i)

=

2013-1+2014i

2

=1006+1007i
故答案为：1006+1007i