Question

若i是虚数单位，则i+2i²+3i³+…+2013i²⁰¹³=

1006+1007i

．

Answer 1

分析：由虚数单位的周期性可得得i⁴ⁿ=1，i⁴ⁿ⁺¹=i，i⁴ⁿ⁺²=-1，i⁴ⁿ⁺³=-i，其中n为自然数，S=i+2i²+3i³+…+2013i²⁰¹³，①进而可得：iS=i²+2i³+3i⁴+…+2013i²⁰¹⁴，②，两式相减，由等比数列的求和公式，结合复数的运算化简即可．

解答：解：由虚数单位i性质可得i⁴ⁿ=1，i⁴ⁿ⁺¹=i，i⁴ⁿ⁺²=-1，i⁴ⁿ⁺³=1，其中n为自然数，
设S=i+2i²+3i³+…+2013i²⁰¹³，①
两边同乘以i可得：iS=i²+2i³+3i⁴+…+2013i²⁰¹⁴，②
①-②可得（1-i）S=i+i²+i³+…+i²⁰¹³-2013i²⁰¹⁴
=

i(1-i2013)

1-i

-2013i²⁰¹⁴=

i(1-i)

1-i

-2013×（-1）=2013+i，
故S=

2013+i

1-i

=

(2013+i)(1+i)

(1-i)(1+i)

=

2013-1+2014i

2

=1006+1007i
故答案为：1006+1007i

点评：本题考查虚数单位及其性质，涉及数列的错位相减法求和以及复数代数形式的加减运算，属中档题．