题目内容

若i是虚数单位，则i+2i²+3i³+…+2013i²⁰¹³=________．

1006+1007i
分析：由虚数单位的周期性可得得i⁴ⁿ=1，i⁴ⁿ⁺¹=i，i⁴ⁿ⁺²=-1，i⁴ⁿ⁺³=1，其中n为自然数，S=i+2i²+3i³+…+2013i²⁰¹³，①进而可得：iS=i²+2i³+3i⁴+…+2013i²⁰¹⁴，②，两式相减，由等比数列的求和公式，结合复数的运算化简即可．
解答：由虚数单位i性质可得i⁴ⁿ=1，i⁴ⁿ⁺¹=i，i⁴ⁿ⁺²=-1，i⁴ⁿ⁺³=1，其中n为自然数，
设S=i+2i²+3i³+…+2013i²⁰¹³，①
两边同乘以i可得：iS=i²+2i³+3i⁴+…+2013i²⁰¹⁴，②
①-②可得（1-i）S=i+i²+i³+…+i²⁰¹³-2013i²⁰¹⁴= $\text{[math]}$ -2013i²⁰¹⁴= $\text{[math]}$ -2013×（-1）=2013+i，
故S= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =1006+1007i
故答案为：1006+1007i
点评：本题考查虚数单位及其性质，涉及数列的错位相减法求和以及复数代数形式的加减运算，属中档题．