Question

15．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{b}$=（2cosx，$\sqrt{3}$）．设函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，
（1）求f（x）的最大值
（2）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）利用向量的乘积关系求出解析式化简为y=Asin（ωx+φ）的形式，结合三角函数的图象及性质可得最大值．
（2）将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间

解答 解：（1）由题意：向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{b}$=（2cosx，$\sqrt{3}$）．
∴函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2sinxcos+3=sin2x+3．
∵sin2x∈[-1，1]，
∴函数f（x）的值域为[2，4]，
故得f（x）的最大值为4．
（2）由（1）可得f（x）=sin2x+3．
∵2x∈[2kπ$-\frac{π}{2}$，2kπ$+\frac{π}{2}$]是单调增区间，即2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x≤2kπ$+\frac{π}{2}$，
解得：kπ$-\frac{π}{4}$≤x≤kπ$+\frac{π}{4}$，（k∈Z）
故得函数f（x）的单调递增区间为[kπ$-\frac{π}{4}$，kπ$+\frac{π}{4}$]，（k∈Z）．

点评 本题考查了三角函数的化简以及图象和性质的运用，属于基础题．