Question

图中的三角形称为希尔宾斯三角形，在下列四个三角形中，黑色三角形的个数依次构成数列{a_n}的前四项，依此着色方案继续对三角形着色．

（1）数列{a_n}的通项公式a_n=

 

；
（2）若数列{b_n}满足b_n=（

2

3

）ⁿ•a_n+1，记M=C

0 20

+C

1 20

+C

2 20

•b₁+C

3 20

•b₂+…+C

20 20

•b₁₉，则M的个位数字是

 

．

Answer 1

考点：归纳推理

专题：推理和证明

分析：（1）根据图形的特点，每增加一个三角形应在原来的基础上再增加3倍个三角形，三角形的个数为：1，3，3×3，3×9…，归纳出第n图形中三角形的个数．
（2）根据二项式定理得到C

0 20

+C

1 20

+C

2 20

•2+C

3 20

•2²+…+C

20 20

•2¹⁹=

1

2

×（1+3²⁰），再分别找出个数数字是2，5，4，1，四个一个周期，问题得以解决．

解答： 解：（1）由图形得：
第2个图形中有3个三角形，
第3个图形中有3×3个三角形，
第4个图形中有3×9个三角形，
以此类推：第n个图形中有3^n-1个三角形．
故答案为：a_n=3^n-1，
（2）b_n=（

2

3

）ⁿ•a_n+1=（

2

3

）ⁿ•3ⁿ=2ⁿ．
∴C

0 20

+C

1 20

+C

2 20

•2+C

3 20

•2²+…+C

20 20

•2¹⁹=

1

2

（2C

0 20

+C

1 20

•2+C

2 20

•2²+C

3 20

•2³+…+C

20 20

•2²⁰）=

1

2

[1+（1+2）²⁰]=

1

2

×（1+3²⁰），
∵

1

2

×（1+3）=2，

1

2

×（1+3²）=5，

1

2

×（1+3³）=14，

1

2

×（1+3⁴）=41，

1

2

×（1+3⁵）=122，
∴个数数字是2，5，4，1，四个一个周期，
∵20÷4=5，
∴

1

2

×（1+3²⁰）的个数数字为1．
故答案为．（1）3^n-1（2）1

点评：本题利用图形的特点，找出三角形增加的规律，进行归纳推理，再利用等比数列公式求出第n个三角形的个数．以及根据二项式定理，属于中档题．