题目内容
【题目】已知函数
.
⑴求函数
的单调区间；
⑵如果对于任意的
，
总成立，求实数
的取值范围.
【答案】（1）
的单调递增区间为
，单调递减区间为
；（2）
【解析】
试题⑴求出函数的导数令其大于零得增区间，令其小于零得减函数；⑵令
，要使
总成立，只需
时
，对
讨论,利用导数求
的最小值.
试题解析：(1) 由于
，所以
.
当
，即
时，
；
当
，即
时，
.
所以的单调递增区间为
，
单调递减区间为.
(2) 令，要使总成立，只需时.
对
求导得
，
令
，则
，(
)
所以
在
上为增函数，所以
.
对分类讨论：
① 当
时，
恒成立，所以在上为增函数，所以
，即
恒成立；
② 当
时，
在上有实根
，因为在
上为增函数，所以当
时，
，所以
，不符合题意；
③ 当
时，
恒成立，所以在上为减函数，则
，不符合题意.
综合①②③可得，所求的实数的取值范围是
.
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