题目内容
【题目】已知椭圆
的左、右焦点分别为
，过点
的直线与椭圆
交于
两点，
的周长为8，直线
被椭圆截得的线段长为
.
（1）求椭圆的方程；
（2）设
是椭圆上两动点，线段
的中点为
，
的斜率分别为
（
为坐标原点），且
，求
的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
(1)结合椭圆定义和
的周长为8求出
的值，再利用直线
被椭圆
截得的线段长为
求出
的值，即可得到椭圆的方程
(2)讨论当
的斜率不存在时和当的斜率存在时，联立直线方程与椭圆方程，结合
求解
的取值范围
（1）根据题意
，
.
把代入椭圆方程
得，
，
因为直线被椭圆截得的线段长为，
所以
，解得
，
所以椭圆的方程为.
（2）设
，
，由
，得
，
当的斜率不存在时，
，
，
，又
，
，这时
.
当的斜率存在时，设直线
，由得
：
，
由
得
①
，
，结合得
②
由①②知
且
，
，
，
综上的取值范围为.
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