Question

【题目】已知函数.

（1）若在上恒成立，求的取值范围，并证明：对任意的，都有

（2）设.讨论方程实数根的个数

Answer 1

【答案】（1）；证明见解析（2）当时，方程有一个实数解；当时，方程有两个不同的实数解；当时，方程没有实数解

【解析】

（1）在上恒成立，分离参数得，只需，设，利用求导求出其最大值为，因此；根据所证明不等式的结构特征，取，在上成立，令，，即可证明不等式；

（2）由，分离参数可得，设，通过求导求出单调区间，极值最值，以及函数值变化趋势，即可求出结论.

（1）由可得，

令，则

当时，单调递增，

当时，单调递减，

故在处取得极大值，也是最大值，

要使，只需，

故的取值范围为，

显然，当时，有，

即不等式在上成立，

令，则有

所以，

即：；

（2）由可得，，

即，令，

则，

当时，单调递增，

当时，单调递减，

故在处取得极大值，也是最大值，

又当时，，当时，

所以，当时，方程有一个实数解；

当时，方程有两个不同的实数解；

当时，方程没有实数解.