Question

【题目】已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设．

（1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；

（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当k=1时，有一个零点；当

时，有一个零点 ;当或时，函数有两个零点.

【解析】试题分析：（1）先根据二次函数的顶点式设出函数的解析式，然后对其进行求导，根据的导函数的图象与直线平行求出的值，进而可确定函数的解析式，然后设出点的坐标，根据两点间的距离公式表示出，再由基本不等式表示其最小值，解方程即可得结果；（2）先根据（1）的内容得到函数的解析式，即，然后先对二次项的系数等于0进行讨论，再当二次项的系数不等于0即为二次方程时，根据方程的判别式进行讨论即可得到答案.

试题解析：（1）依题可设，则，又的图象与直线平行，，，，设，则当且仅当时，取得最小值，即取得最小值，当时，，解得，当时，，解得.

（2）由，得，当时，方程有一解，函数有一零点，；当时，方程有二解，若，函数有两个零点，，即，若，

函数有两零点，，即

当时，方程有一解，函数有一零点，，综上，当时，函数有一零点，；当或时，函数有两个零点，，当时，函数有一个零点.