Question

已知椭圆C：的左、右焦点分别为F₁，F₂点A在椭圆C上，=0，，，过点F₂且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于P，Q两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）线段OF₂上是否存在点M（m，0），使得若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用，可得∠AF₁F₂=90°．由已知，利用夹角公式可得cos∠F₁AF₂=．又=2，解得，．即可得到2a==4，c=1，即可得到b²=a²-c²，进而得到椭圆方程；
（II）存在这样的点M符合题意．设线段PQ的中点为N，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x，y），直线PQ的斜率为k（k≠0），注意到F₂（1，0），则直线PQ的方程为y=k（x-1），与椭圆方程联立得到根与系数的关系，利用中点坐标公式即可得到点N，再利用向量可得，因此PQ⊥MN，利用k•k_MN=-1即可得到m与k的关系．
解答：解：（Ⅰ）∵，∴∠AF₁F₂=90°．
∵，∴cos∠F₁AF₂=．
又=2，解得，．
∴2a==4，
∴a=2，c=1，b²=a²-c²=3，
即所求椭圆方程为．
（Ⅱ） 存在这样的点M符合题意．
设线段PQ的中点为N，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x，y），
直线PQ的斜率为k（k≠0），
注意到F₂（1，0），则直线PQ的方程为y=k（x-1），
由消去y得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
所以，
故，y=k（x-1）=．
又点N在直线PQ上，所以N，
由可得，
∴PQ⊥MN，∴k_MN=，
整理得=，
所以，在线段OF₂上存在点M（m，0）符合题意，其中．
点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为根与系数的关系、中点坐标公式、向量的数量积运算等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力．