Question

(本小题满分16分) [已知数列满足
,.
(1)求数列的通项公式；
(2)若对每一个正整数,若将按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等
差数列, 且公差为.①求的值及对应的数列．
②记为数列的前项和，问是否存在,使得对任意正整数恒成立?若存
在,求出的最大值；若不存在,请说明理由．

Answer 1

(Ⅰ)因为,所以时, ,两式相减,得,故数列从第二项起是公比为的等比数列…………………………3分
又当n=1时,,解得,从而………5分
(2)①由(1)得,
[1]若为等差中项,则,即或,解得………6分
此时,所以……8分
[2]若为等差中项,则,即,此时无解   ………9分
[3]若为等差中项,则,即或,解得,此时,所以………11分
综上所述,, 或,……………12分
②[1]当时,,则由,得,
当时, ,所以必定有,所以不存在这样的最大正整数……14分
[2]当时,,则由,得,因为,所以满足恒成立；但当时,存在,使得即,所以此时满足题意的最大正整数  …………16分

略