Question

（本小题满分14分）
已知数列满足：，（其中为自然对数的底数）．
（1）求数列的通项；
（2）设，，求证：， ．

Answer 1

解：（1），
，即．        …………………………………3分
令，则，，
因此，数列是首项为，公差为的等差数列．
，                      …………………………………5分
．                    …………………………………6分
（2）（方法一）先证明当时，．
设，则，
当时，，
在上是增函数，则当时，，即．………8分
因此，当时，，， …………9分
当时，，． …………………10分
．
…………………………12分
．
………………………14分
（方法二）数学归纳法证明
（1），，当时，成立；
，，
又，，
当时，成立．          ……………………………………………8分
（2）设时命题成立，即，，
当时，，
要证， 即证，
化简，即证．                                …………………………9分
设，则，
当时，，
在上是增函数，则当时，，即．
因此，不等式成立，即当时成立． …………………11分
当时，，
要证， 即证，
化简，即证．             
根据前面的证明，不等式成立，则时成立．
由数学归纳法可知，当时，不等式，成立．……………14分

略