Question

【题目】在直角坐标系中，曲线上的点均在曲线外，且对上任意一点，到直线的距离等于该点与曲线上点的距离的最小值．

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）若点是曲线的焦点，过的两条直线关于轴对称，且分别交曲线于，若四边形的面积等于，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求得的圆心和半径，利用题目所给“到直线的距离等于该点与曲线上点的距离的最小值”列方程，化简这个方程可求得轨迹的方程.（2）设出直线的方程，代入抛物线的方程求得弦长的值.根据对称性求得的值，利用面积公式列方程，从而求得所求直线的斜率，进而求得直线方程.

（1）由已知得曲线是以为圆心，为半径的圆.设，则到直线的距离等于，又到圆上的点的距离的最小值为，所以由已知可得，化简得， 所以曲线的方程为.（2）依题意可知，直线的斜率存在，并且互为相反数.设直线的方程，代入抛物线方程并化简得，故，由弦长公式得，同理.下面求直线夹角的正弦值.设直线的倾斜角为，则，则直线夹角为，且.所以四边形的面积为，，解得，此时直线的斜率为，根据对称性可知.当直线斜率为时，斜率为，也符合题意.故，所求的直线方程为.