Question

【题目】已知梯形如图（1）所示，其中， ，四边形是边长为的正方形，现沿进行折叠，使得平面平面，得到如图（2）所示的几何体.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）已知点在线段上，且平面，求与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）与平面所成角的正弦值为.

【解析】试题分析：（1）要证面面垂直，可先证线线垂直，先由线面关系得到，由为正方形得，进而得到平面，从而得到面面垂直；（2）建立空间坐标系，分别求得面的法向量和线的方向向量，由向量夹角公式求得线面角.

解析：

（Ⅰ）证明：由平面平面， ，

平面平面， 平面，

得平面，又平面，

∴，

由为正方形得，

又， ， 平面，

∴平面，

又∵平面，

∴平面平面.

（Ⅱ）由平面得， ，

又故以为原点， ， ， 所在直线分别为轴， 轴， 轴建立图示空间直角坐标系，则， ， ， ，

设，则，

设平面的一个法向量为，

由， ，

得取得，

∵平面， ，

∴， ，

， ，

设与平面所成的角为，则

，

∴与平面所成角的正弦值为.