Question

【题目】如图，在三棱锥P-ABC中，底面ABC，.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，，.

（1）求证：平面BDE；

（2）求二面角C-EM-N的正弦值.

（3）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）；（3）AH的长为4.

【解析】

（1）利用面面平行的判定定理证明平面平面BDE，再由面面平行的性质定理得出平面BDE；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；

（3）建立空间直角坐标系，设出点的坐标，利用向量法求解即可得出线段AH的长.

（1）取AB中点F，连接MF，NF，

因为M为AD中点，

所以，

因为平面BDE，平面BDE，

所以平面BDE.

因为N为BC中点

所以，

又D，E分别为AP，PC的中点，

所以，则.

因为平面BDE，平面BDE，

所以平面BDE.

又，平面

所以平面平面BDE

平面

则平面BDE；

（2）因为底面ABC，.

所以以A为原点，分别以AB，AC，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系

因为，，

所以，，，，，，

则，，

设平面MEN的一个法向量为，

由，得，

取，得.

由图可得平面CME的一个法向量为.

所以.

所以二面角C-EM-N的余弦值为，则正弦值为；

（3）设，则，，.

因为直线MH与直线BE所成角的余弦值为，

所以，

解得：.

所以当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为，此时线段AH的长为4.