Question

【题目】已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若在区间存在一个，使得成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；(2).

【解析】

(1)求出的导数，令，分、、三种情况讨论导数的符号从而确定的单调区间；(2) 由整理得，令，设函数的零点为可得，分析的单调性从而求出最小值，根据不等式成立的充要条件即可求得a的取值范围.

(1)，

令，，

①若即，

则二次函数开口向下且与轴无交点，

当时，即，

函数在上单调递减；

②若即，

当时，开口向下且对称轴为，

当时，即，

函数在上单调递减；

当时，开口向下且对称轴为，

当时，即，

函数在上单调递减；

③若即或，

方程的根为，

当时，因为开口向下，

，

所以当时，即，函数单调递减；

当时，因为，

所以当，时，

即，函数单调递减；

当时，

即，函数单调递增；

综上所述，当时，在上单调递减；

当时，在区间上单调递增，

在区间，上单调递减.

(2)根据题意，若，

则，

化简得，令，

，令可得即，

设函数的零点为，则，

由在单调递增，

所以时，，单调递减；

时，，单调递增，

，

所以.