Question

已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的是 （填上正确的序号）

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）

 

Answer 1

（1）（3）（5）

【解析】

试题分析：①中的函数f（x）=x2，f'（x）=2x．要使f（x）=f′（x），则x2=2x，解得x=0或2，可见函数有巧值点；

对于②中的函数，要使f（x）=f′（x），则e-x=-e-x，由对任意的x，有e-x＞0，可知方程无解，原函数没有巧值点；

对于③中的函数，要使f（x）=f′（x），则lnx=，由函数f（x）=lnx与y=的图象它们有交点，因此方程有解，原函数有巧值点；

对于④中的函数，要使f（x）=f′（x），则，即sinxcosx=1，显然无解，原函数没有巧值点；

对于⑤中的函数，要使f（x）=f′（x），则，即x3-x2+x+1=0，设函数g（x）= x3-x2+x+1，g'（x）=3x2-2x+1＞0且g（-1）＜0，g（0）＞0，

显然函数g（x）在（-1，0）上有零点，原函数有巧值点．

故答案为：①③⑤．

考点：1．导数的运算；2．命题的真假判断与应用．