Question

（2012•绵阳三模）已知向量

m

=（sinx，-1），

n

=（cosx，3）．
（I ）当

m

∥

n

时，求

sinx+cosx

3sinx-2cosx

的值；
（II）已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，

3

c=2asin（A+B），函数f（x）=（

m

+

n

）•

m

，求f（B+

π

8

）的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由

m

∥

n

，可得tanx=-

1

3

，再由

sinx+cosx

3sinx-2cosx

=

tanx+1

3tanx-2

，运算求得结果．
（II）在△ABC中，由

3

c=2asin（A+B）利用正弦定理求得sinA=

3

2

，可解得 A=

π

3

．由△ABC为锐角三角形，得

π

6

＜B＜

π

2

，利用两个向量的数量积公式求得函数f（x）=
 

2

2

sin（2x-

π

4

）-

3

2

．由此可得f（B+

π

8

）=

2

2

sin2B-

3

2

，再根据B的范围求出sin2B的范围，即可求得f（B+

π

8

）的取值范围．

解答：解：（I）由

m

∥

n

，可得3sinx=-cosx，于是tanx=-

1

3

．
∴

sinx+cosx

3sinx-2cosx

=

tanx+1

3tanx-2

=

- 1 3 +1

3(- 1 3 )-2

=-

2

9

．   
（II）∵在△ABC中，A+B=π-C，于是sin（A+B）=sinC，
由

3

c=2asin（A+B）利用正弦定理得：

3

sinC=2sinAsinC，
∴sinA=

3

2

，可解得 A=

π

3

． …（6分）
又△ABC为锐角三角形，于是

π

6

＜B＜

π

2

，
∵函数f（x）=（

m

+

n

）•

n

=（sinx+cosx，2）•（sinx，-1）
=sin²x+sinxcosx-2=

1-cos2x

2

+

sin2x

2

-2=

2

2

 sin（2x-

π

4

）-

3

2

．
∴f（B+

π

8

）=

2

2

sin[2（B+

π

8

）-

π

4

]-

3

2

=

2

2

sin2B-

3

2

．…（10分）
由

π

6

＜B＜

π

2

 得

π

3

＜2B＜π，
∴0＜sin2B≤1，得-

3

2

＜

2

2

sin2B-

3

2

≤

2

2

-

3

2

，即 f（B+

π

8

）的取值范围 （-

3

2

，

2

2

-

3

2

]．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦定理，正弦函数的定义域和值域，两个向量的数量积公式的应用，属于中档题．