Question

16．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x+4y+6=0与圆x²+（y-b）²=a²相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知过椭圆C的左顶点A的两条直线l₁，l₂分别交椭圆C于M，N两点，且l₁⊥l₂，求证：直线MN过定点，并求出定点坐标；
（3）在（2）的条件下求△AMN面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x+4y+6=0与圆x²+（y-b）²=a²相切，建立方程组，求出a，b，即可求椭圆C的方程；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}x=my-2\\{x^2}+4{y^2}-4=0\end{array}\right.$得（m²+4）y²-4my=0，求出M的坐标，同理可得N的坐标，分类讨论，即可证明结论；
（3）求出三角形的面积，变形，利用基本不等式求△AMN面积的最大值．

解答 解：（1）由题意$\left\{\begin{array}{l}a=2b\\ \frac{4b+6}{5}=a\end{array}\right.∴\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=1\end{array}\right.$即$C：\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…（4分）
（2）∵A（-2，0）设l₁：x=my-2，${l_2}：x=-\frac{1}{m}y-2$
由$\left\{\begin{array}{l}x=my-2\\{x^2}+4{y^2}-4=0\end{array}\right.$得（m²+4）y²-4my=0∴$M（\frac{{2{m^2}-8}}{{{m^2}+4}}，\frac{4m}{{{m^2}+4}}）$
同理∴$N（\frac{{2-8{m^2}}}{{4{m^2}+1}}，-\frac{4m}{{4{m^2}+1}}）$（6分）
i） m≠±1时，${k_{MN}}=\frac{5m}{{4（{m^2}-1）}}$${l_{MN}}：y=\frac{5m}{{4（{m^2}-1）}}（x+\frac{6}{5}）$过定点$（-\frac{6}{5}，0）$
ii） m=±1时${l_{MN}}：x=-\frac{6}{5}$过点$（-\frac{6}{5}，0）$∴l_MN过定点$（-\frac{6}{5}，0）$
（3）由（2）知${S_{△AMN}}=\frac{2}{5}|{\frac{4m}{{{m^2}+4}}+\frac{4m}{{4{m^2}+1}}}|=8|{\frac{{{m^3}+m}}{{4{m^4}+17{m^2}+4}}}|$
=$\frac{{8|{m+\frac{1}{m}}|}}{{4{{（m+\frac{1}{m}）}^2}+9}}=\frac{8}{{4|{m+\frac{1}{m}}|+\frac{9}{{|{m+\frac{1}{m}}|}}}}$（8分）
令$t=|{m+\frac{1}{m}}|≥2且m=±1$时取等号，
∴${S_△}≤\frac{16}{25}且m=±1$时去等号，∴${S_{△max}}=\frac{16}{25}$（12分）

点评 本题考查了直线与椭圆的位置关系，联立方程组，结合韦达定理整体求解，属于难题．