Question

【题目】已知 ，分别是椭圆 的左、右焦点.
（1）若点 是第一象限内椭圆上的一点， ,求点 的坐标；
（2）设过定点 的直线 与椭圆交于不同的两点 ，且 为锐角（其中 为坐标原点），求直线 的斜率 的取值范围.

Answer 1

【答案】
（1）解：易知 .
，设 ，则
，又 .
联立 ，解得 ，故
（2）解：显然 不满足题设条件，可设 的方程为 ，
设 ，
联立

由
，得 .①
又 为锐角 ，

又

.②
综①②可知 的取值范围是
【解析】（1）根据题目中所给的条件的特点，求得椭圆的a，b，c，可得左右焦点，设P（x，y）（x＞0，y＞0），运用向量的数量积的坐标表示，解方程可得P的坐标；
（2）设过定点M（0，2）的直线l方程为y=kx+2，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），与椭圆联立，注意到交于不同的两点A、B，△＞0且∠AOB为锐角（其中O为作标原点），利用韦达定理，代入化简，求直线l的斜率k的取值范围．