Question

【题目】设函数 ．
（1）若当 时，函数 的图象恒在直线 上方，求实数 的取值范围；
（2）求证： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：令 ，则 ， ，
①当 时，由于 ，有 ，
于是 在 上单调递增，从而 ，因此 在 上单调递增，即 ；
②当 时，由于 ，有 ，
于是 在 上单调递减，从而 ，
因此 在 上单调递减，即 不符；
③当 时，令 ，当 时，
，于是 在 上单调递减，
从而 ，因此 在 上单调递减，
即 而且仅有 不符.
综上可知，所求实数 的取值范围是 .
（2）解：对要证明的不等式等价变形如下：
对于任意的正整数 ，不等式 恒成立，等价变形
相当于（2）中 ， 的情形，
在 上单调递减，即 ；
取 ，得：都有 成立；
令 得证．
【解析】本题主要考查利用导数在函数中求参数范围的应用，以及不等式的综合应用。（1）本题主要利用转化的思想，先把图像上方的函数转化为新函数求最值的问题，根据构造的函数对m进行求解，要两次利用导数来判断新函数的单调性，然后利用单调性求解参数m的取值范围。（2）要证明不等式，要对不等式进行等价变形，仍然要利用函数的单调性求解。