Question

【题目】已知 为椭圆与双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且 ，则该椭圆与双曲线的离心率的积的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】B
【解析】设椭圆的长半轴长为a1 ， 双曲线的半实轴长为a2 ， 则根据椭圆及双曲线的定义：
|PF1|+|PF2|=2a1 ， |PF1|﹣|PF2|=2a2 ，
∴|PF1|=a1+a2 ， |PF2|=a1﹣a2 ，
设|F1F2|=2c，∠F1PF2= ，则：
在△PF1F2中由余弦定理得，
4c2=（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos ，
化简得：（ ）a12+（ ）a22=4c2 ，
即 ，
又∵ 9 ，
∴ ，即 ≥ ，
即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为 ．
所以答案是:B．