Question

8．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2x+1}$（x＞0），f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f（f_n（x）），n∈N^*，则f₂（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{40}$，f₂（x）=$\frac{{x}^{4}}{2{x}^{2}+2x+1}$，f_n（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上的最大值是$\frac{1}{1+2n}$．

Answer 1

分析 分别求得f₁（x），f₂（x），f₃（x），归纳出f_n（f_n-1（x）），由代入法可得f₂（$\frac{1}{2}$）；再由分子分母同除以${x}^{{2}^{n}}$，可得f_n（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上递增，计算即可得到所求最大值．

解答 解：f₁（x）=f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2x+1}$；
f₂（x）=f（f₁（x））=$\frac{{x}^{4}}{2{x}^{2}+2x+1}$；
f₃（x）=f（f₂（x））=$\frac{{x}^{8}}{2{x}^{4}+2{x}^{2}+2x+1}$；
…
f_n（f_n-1（x））=$\frac{{x}^{{2}^{n}}}{2{x}^{{2}^{n-1}}+2{x}^{{2}^{n-2}}+…+2x+1}$，
则f₂（$\frac{1}{2}$）=$\frac{\frac{1}{16}}{2×\frac{1}{4}+1+1}$=$\frac{1}{40}$；
f_n（x）=$\frac{{x}^{{2}^{n}}}{2{x}^{{2}^{n-1}}+2{x}^{{2}^{n-2}}+…+2x+1}$=$\frac{1}{\frac{2}{x}+\frac{2}{{x}^{2}}+…+\frac{2}{{x}^{{2}^{n-1}}}+\frac{1}{{x}^{{2}^{n}}}}$，
由$\frac{2}{x}$，$\frac{2}{{x}^{2}}$，…，$\frac{2}{{x}^{{2}^{n}-1}}$，$\frac{1}{{x}^{{2}^{n}}}$在[$\frac{1}{2}$，1]递减，可得f_n（x）在[$\frac{1}{2}$，1]递增，
即有x=1时，取得最大值，且为$\frac{1}{2+2+…+2+1}$=$\frac{1}{1+2n}$．
故答案为：$\frac{1}{40}$，$\frac{{x}^{4}}{2{x}^{2}+2x+1}$，$\frac{1}{1+2n}$．

点评 本题考查函数值和函数的解析式的求法，注意运用代入法，考查函数的最值的求法，注意运用归纳法和函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．