Question

17．设函数f（x）=x•|x-a|（a∈R）．
（1）判断函数f（x）奇偶性，并说明理由；
（2）当x∈[$\frac{1}{2}$，2]时，不等式f（x）≤2恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对a讨论，可得当a=0时，f（x）为奇函数；当a≠0时，f（x）为非奇非偶函数．再由奇偶性的定义，即可得到结论；
（2）由题意可得|a-x|≤$\frac{2}{x}$，即x-$\frac{2}{x}$≤a≤x+$\frac{2}{x}$在x∈[$\frac{1}{2}$，2]恒成立，分别求得函数x-$\frac{2}{x}$的最大值，x+$\frac{2}{x}$的最小值，即可得到a的范围．

解答 解：（1）当a=0时，f（x）为奇函数；当a≠0时，f（x）为非奇非偶函数．
理由：当a=0时，f（x）=x|x|，f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x），
则f（x）为奇函数；
当a≠0时，f（-x）=-x|-x-a|=-x|x+a|≠f（x），且f（-x）≠-f（x），
则f（x）为非奇非偶函数；
（2）当x∈[$\frac{1}{2}$，2]时，不等式f（x）≤2恒成立，
即为|a-x|≤$\frac{2}{x}$，即x-$\frac{2}{x}$≤a≤x+$\frac{2}{x}$在x∈[$\frac{1}{2}$，2]恒成立，
由x-$\frac{2}{x}$在x∈[$\frac{1}{2}$，2]递增，可得x=2时，取得最大值1，；
由x+$\frac{2}{x}$在x∈[$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}$）递减，在（$\sqrt{2}$，2]递增，可得x=$\sqrt{2}$处取得最小值2$\sqrt{2}$．
则a的范围为1≤a≤2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查函数的奇偶性的判断，注意运用分类讨论和定义，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．