Question

已知函数.
(I)当时,求的单调区间
(Ⅱ)若不等式有解,求实数m的取值菹围；
(Ⅲ)定义：对于函数和在其公共定义域内的任意实数，称的值为两函数在处的差值。证明:当时,函数和在其公共定义域内的所有差值都大干2。

Answer 1

(I) a=0时，f（x）在（0，+）上单调递增；当a<0时，f（x）在上单调递增；f（x）在上单调递减.(Ⅱ) m<0.(Ⅲ)证明详见解析.

试题分析：(I)首先求出原函数的导数，然后分类求出>0或<0的解集，最后根据导数的性质，得出结论即可.(Ⅱ)由已知可知有解，构造函数 ，求导，利用基本不等式判断导数的符号，确定函数 的单调性，求出最大值即可.(Ⅲ) 首先确定公共定义域（0，+），，然后构造函数和利用导函数的性质求出它们的单调性，极值点和极值，即可确定最值，求得
.
试题解析：(I)f（x）的定义域是（0，+），.
1.当a=0时，>0，所以f（x）在（0，+）上单调递增；
2.当a<0时，由=0，解得，则时，>0，所以f（x）在上单调递增；时，<0，所以f（x）在上单调递减.
综上所述，a=0时，f（x）在（0，+）上单调递增；当a<0时，f（x）在上单调递增；f（x）在上单调递减.
(Ⅱ) 由题意有解，即有解，
因此只需有解即可.
设 ，则
因为，且时，.
所以<0，即<0，
故h（x）在单调递减，
所以h（x）<h(0)=0,故m<0.
(Ⅲ)当a=0时，，f（x）与g（x）的公共定义域为，，
设，则，在上单调递增，所以.
又设则
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以x=1为函数的极大值点，即，故.
即公共定义域内任一点差值都大于2.