Question

12．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，过椭圆C的左焦点且倾角为60°的直线与圆x²+y²=a²相交，所得弦的长度为$\sqrt{7}$，求椭圆C的方程．

Answer 1

分析 运用椭圆的离心率公式和直线和圆相交的弦长公式，解方程可得a，b，c，进而得到椭圆方程．

解答 解：由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
椭圆C的左焦点（-c，0）且倾斜角为60°的直线方程为y=$\sqrt{3}$（x+c），
圆心到直线的距离为d=$\frac{\sqrt{3}c}{\sqrt{1+3}}$=$\frac{\sqrt{3}c}{2}$，
由圆的弦长公式可得$\sqrt{7}$=2$\sqrt{{a}^{2}-\frac{3}{4}{c}^{2}}$，
解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
即有椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和圆的弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．