Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C．

（1）是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程;若不存在，请说明理由；

（2）求证:过A，B，C三点的圆过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）存在，（2）证明见解析，圆方程恒过定点或

【解析】

（1）将曲线Γ方程中的y＝0，得x2﹣mx+2m＝0．利用韦达定理求出C，通过坐标化，求出m得到所求圆的方程．

（2）设过A，B，C的圆P的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2列出方程组利用圆系方程，推出圆P方程恒过定点即可．

由曲线Γ：y＝x2﹣mx+2m（m∈R），

令y＝0，得x2﹣mx+2m＝0．

设A（x1，0），B（x2，0），

则可得△＝m2﹣8m＞0，x1+x2＝m，x1x2＝2m．

令x＝0，得y＝2m，即C（0，2m）．

（1）若存在以AB为直径的圆过点C，则，得，

即2m+4m2＝0，

所以m＝0或．由△＞0，得m＜0或m＞8，所以，

此时C（0，﹣1），AB的中点M（，0）即圆心，半径r＝|CM|

故所求圆的方程为．

（2）设过A，B，C的圆P的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2

满足

代入P得

展开得（﹣x﹣2y+2）m+x2+y2﹣y＝0

当，即时方程恒成立，

∴圆P方程恒过定点（0，1）或．