Question

【题目】设{an}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），Sn是其前n项和．记bn= ，n∈N* ， 其中c为实数．
（1）若c=0，且b1 ， b2 ， b4成等比数列，证明：Snk=n2Sk（k，n∈N*）；
（2）若{bn}是等差数列，证明：c=0．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：若c=0，则an=a1+（n﹣1）d， ， ．

当b1，b2，b4成等比数列时，则 ，

即： ，得：d2=2ad，又d≠0，故d=2a．

因此： ， ， ．

故： （k，n∈N*）．

（2）

证明：

=

= ． ①

若{bn}是等差数列，则{bn}的通项公式是bn=An+B型．

观察①式后一项，分子幂低于分母幂，

故有： ，即 ，而 ，

故c=0．

经检验，当c=0时{bn}是等差数列．

【解析】（1）写出等差数列的通项公式，前n项和公式，由b1 ， b2 ， b4成等比数列得到首项和公差的关系，代入前n项和公式得到Sn ， 在前n项和公式中取n=nk可证结论；
（2）把Sn代入 中整理得到bn= ，由等差数列的通项公式是an=An+B的形式，说明 ，由此可得到c=0．
【考点精析】本题主要考查了等差数列的前n项和公式和等比关系的确定的相关知识点，需要掌握前n项和公式：；等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n项和法进行判断才能正确解答此题．