Question

已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线的焦点,离心率是
（I）求椭圆E的方程；
（II）过点C（﹣1，0），斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点，请问x轴上是否存在点M，使恒为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（I）由题意，椭圆的焦点在x轴上，且a= ，c=e·a= × = ，
故b= = = ，
所以，椭圆E的方程为 + =1，即x²+3y²=5．
（II）假设存在点M符合题意，设AB：y=k（x+1），
代入方程E：x²+3y²=5，得（3k²+1）x²+6k²x+3k²﹣5=0；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，0），
则 x₁+x₂=﹣ ，x₁x₂= ；
∴ · =（k²+1）x₁x₂+（k²﹣m）（x₁+x₂）+k²+m²=m²+2m﹣ ﹣ ，
要使上式与k无关，则有6m+14=0，解得m=﹣ ；
所以，存在点M（﹣ ，0）满足题意．