Question

15．已知函数f（x）=4^x-2^x+2-6，其中x∈[0，3]
（1）求函数f（x）的 最大值和最小值
（2）实数a满足f（x）-a≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对f（x）化简配方得：f（x）=（2^x-2）²-10，利用函数的单调性质可求函数f（x）的 最大值和最小值；
（2）实数a满足f（x）-a≥0恒成立⇒a≤[f（x）]_min，由f（x）=（2^x-2）²-10≥-10即可求得∴[f（x）]_min，=-10，从而可求a的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=4^x-2^x+2-6=（2^x-2）²-10，
又x∈[0，3]，
∴2^x∈[1，8]，
∴当2^x=2时，函数f（x）取得最小值-10；
当2^x=8时，函数f（x）取得最大值6²-10=26．
（2）∵实数a满足f（x）-a≥0恒成立，
∴a≤[f（x）]_min，
∵f（x）=4^x-2^x+2-6=（2^x-2）²-10≥-10，
∴[f（x）]_min，=-10，
∴a≤-10．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查指数函数的单调性与最值，考查等价转化思想与运算能力，属于中档题．