题目内容
【题目】某房地产商建有三栋楼宇
，三楼宇间的距离都为2千米，拟准备在此三楼宇围成的区域
外建第四栋楼宇
，规划要求楼宇对楼宇
，
的视角为
，如图所示，假设楼宇大小高度忽略不计．
（1）求四栋楼宇围成的四边形区域
面积的最大值；
（2）当楼宇与楼宇，间距离相等时，拟在楼宇
，间建休息亭
，在休息亭和楼宇，间分别铺设鹅卵石路
和防腐木路
，如图，已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为
，
（单位：元千米，为常数）．记
，求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值．
【答案】（1）围成的四边形区域
的面积的最大值
平方千米；（2）总费用的最小值
元.
【解析】
（1）由楼宇
对楼宇
，
的视角为
得楼宇D在一段圆弧上，则
相等时，可得
最大，
固定，计算此时四边形
的面积即可．
（2）用
表示出
，
，从而表示出铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费：
，再利用导数判断
的单调性，从而求得它的最小值，问题得解．
（1）当且仅当：
时，取得等号，所以的最大值为
又因为四边形的面积
所以四边形的面积的最大值为
.
答：四栋楼宇围成的四边形区域的面积的最大值平方千米.
（2）当楼宇与楼宇
间距离相等时
由（1）得：
则
，又因为
，所以
，因为等边三角形
所以
，所以
在
中，
，所以
，则
所以铺设鹅卵石路和防腐木路的总费用
令
因为
，所以
|
|
|
|
| - | 0 | + |
| ↘ | 极小值 | ↗ |
所以当时，
即：
的最小值为
答：铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值元.
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